Esercitazione 4 - Risoluzione Si risolvano, se possibile, usando operazioni elementari, i sistemi e si interpreti il risultato in termini vettoriali (colonne dei coefficienti e colonna termini noti) a) nelle incognite x,y: 2x + 5y = 5 3x + 7y = 6 Risolviamo il sistema effettuando operazioni elementari sulle equazioni. Eq1: 2x + 5y = 5 Eq2: 3x + 7y = 6 Annulliamo il coefficiente della x nella seconda equazione: effettuiamo la sostituzione Eq2 -> Eq2-(3/2)*Eq1 Eq1: 2x + 5y = 5 Eq2: (3-(3/2)*2)x + (7-(3/2)*5)y = 6-(3/2)*5 Eq1: 2x + 5y = 5 Eq2: -(1/2)y = -3/2 Risolviamo Eq2 in y: Eq1: 2x + 5y = 5 Eq2: y = 3 Sostituiamo y=3 in Eq1 e risolviamo in x: Eq1: 2x + 15 = 5 Eq2: y = 3 Soluzione: x = -5 y = 3 Interpretazione vettoriale: x=-5 e y=3 sono le coordinate del vettore colonna (5,6) rispetto alla base di R^2 (2,3) , (5,7) 2 5 5 -5*( ) + 3*( ) = ( ) 3 7 6 ------------------------------ b) nelle incognite x,y,z: x + y + 2z = 4 x + 2y + z = 8 2x + y + z = 12 Procediamo come prima. Annulliamo il coefficiente della x nella 2° e 3° equazione: effettuiamo le sostituzioni Eq2 -> Eq2-Eq1 e Eq3 -> Eq3-2*Eq1 Eq1: x + y + 2z = 4 Eq2: y - z = 4 Eq3: -y - 3z = 4 Annulliamo il coefficiente della y nella terza equazione: effettuiamo la sostituzione Eq3 -> Eq3+Eq2 Eq1: x + y + 2z = 4 Eq2: y - z = 4 Eq3: -4z = 8 Risolviamo Eq3 in z: Eq1: x + y + 2z = 4 Eq2: y - z = 4 Eq3: z = -2 Sostituiamo z=-2 in Eq1 ed Eq2: Eq1: x + y - 4 = 4 Eq2: y + 2 = 4 Eq3: z = -2 Risolviamo Eq2 in y: Eq1: x + y = 8 Eq2: y = 2 Eq3: z = -2 Sostituiamo y=2 in Eq1 e risolviamo in x: Eq1: x + 2 = 8 Eq2: y = 2 Eq3: z = -2 Soluzione: x = 6 y = 2 z = -2 Interpretazione vettoriale: x=6, y=2 e z=-2 sono le coordinate del vettore colonna (4,8,12) rispetto alla base di R^3 (1,1,2) , (1,2,1) , (2,1,1) 1 1 2 4 6*( 1 ) + 2*( 2 ) -2*( 1 ) = ( 8 ) 2 1 1 12 ------------------------------ c) nelle incognite x,y,z: x + y + z = 1 x + 2y + 3z = 2 3x + 4y + 5z = 5 Adesso risolviamo il sistema scrivendo la matrice associata e trasformando il blocco dei coefficienti nella matrice identità (se possibile) tramite operazioni elementari sulle righe: 1 1 1 | 1 1 2 3 | 2 3 4 5 | 5 Annulliamo i termini della prima colonna nella 2° e 3° riga: effettuiamo le sostituzioni R2 -> R2-R1 e R3 -> R3-3*R1 1 1 1 | 1 0 1 2 | 1 0 1 2 | 2 Annulliamo i termini della seconda colonna nella 1° e 3° riga: effettuiamo le sostituzioni R1 -> R1-R2 e R3 -> R3-R2 1 0 -1 | 0 0 1 2 | 1 0 0 0 | 1 Osserviamo che la terza riga corrisponde all'equazione 0=1, dunque il sistema è impossibile. (1,1,3) , (1,2,4) , (1,3,5) non è una base di R^3 ------------------------------ d) nelle incognite p,q,r,s: r + 2s = 5 q + 2r + s = 5 p + 2q + r = 5 2p + q = 5 Procediamo come al punto precedente, senza curarci dell'ordine delle righe. 0 0 1 2 | 5 0 1 2 1 | 5 1 2 1 0 | 5 2 1 0 0 | 5 Annulliamo i termini della terza colonna nella 2° e 3° riga: effettuiamo le sostituzioni R2 -> R2-2*R1 e R3 -> R3-R1 0 0 1 2 | 5 0 1 0 -3 | -5 1 2 0 -2 | 0 2 1 0 0 | 5 Annulliamo i termini della seconda colonna nella 3° e 4° riga: effettuiamo le sostituzioni R3 -> R3-2*R2 e R4 -> R4-R2 0 0 1 2 | 5 0 1 0 -3 | -5 1 0 0 4 | 10 2 0 0 3 | 10 Annulliamo il termine della prima colonna nella 4° riga: effettuiamo la sostituzione R4 -> R4-2*R3 0 0 1 2 | 5 0 1 0 -3 | -5 1 0 0 4 | 10 0 0 0 -5 | -10 Dividiamo la 4° riga per -5: 0 0 1 2 | 5 0 1 0 -3 | -5 1 0 0 4 | 10 0 0 0 1 | 2 Annulliamo i termini della quarta colonna nella 1°, 2° e 3° riga: effettuiamo le sostituzioni R1 - >R1-2*R4, R2 -> R2+3*R4 e R3 -> R3-4*R4 0 0 1 0 | 1 0 1 0 0 | 1 1 0 0 0 | 2 0 0 0 1 | 2 Soluzione: p = 2 q = 1 r = 1 s = 2 Interpretazione vettoriale: lasciata allo studente