Esercitazione 5 - Risoluzione 2) Sono date le matrici: A di tipo 2x2, con A_ij = i (i=1,2, j=1,2) B di tipo 2x2, con B_ij = j (i=1,2, j=1,2) Si calcoli AB in due modi: - prima scrivendo A e B come tabelle e poi calcolando il prodotto delle tabelle; - prima calcolando il prodotto AB con la formula e poi scrivendo AB come tabella. Scriviamo gli elementi A_ij e B_ij: A_11 = 1 A_12 = 1 A_21 = 2 A_22 = 2 B_11 = 1 B_12 = 2 B_21 = 1 B_22 = 2 - 1° modo: Scriviamo le matrici A e B: A = 1 1 B = 1 2 2 2 1 2 Calcoliamo AB: 1 1 1 2 1*1+1*1 1*2+1*2 2 4 ( ) ( ) = ( ) = ( ) 2 2 1 2 2*1+2*1 2*2+2*2 4 8 - 2° modo: Scriviamo gli elementi (AB)_ij utilizzando la fomula (pagina 40 degli appunti): (AB)_11 = A_11 * B_11 + A_12 * B_21 = 1*1 + 1*1 = 2 (AB)_12 = A_11 * B_12 + A_12 * B_22 = 1*2 + 1*2 = 4 (AB)_21 = A_21 * B_11 + A_22 * B_21 = 2*1 + 2*1 = 4 (AB)_22 = A_21 * B_12 + A_22 * B_22 = 2*2 + 2*2 = 8 Scriviamo la matrice AB: AB = 2 4 4 8 ------------------------------- 3) Sono date le matrici A = 1 -1 B = 1 C = 1 3 D = 1 3 1 1 3 1 5 1 5 1 7 Si calcoli l'inversa di A e si risolvano, se possibile, le equazioni: AX = B XA = C AX = D Calcoliamo A^(-1): Scriviamo la matrice [A | I_2] ed effettuiamo operazioni elementari sulle righe per ottenere la matrice [I_2 | A^(-1)] (I_2 è la matrice identità 2x2) [A | I_2] = 1 -1 | 1 0 1 1 | 0 1 Sostituiamo R2 -> R2-R1 1 -1 | 1 0 0 2 | -1 1 Sostituiamo R2 -> (1/2)*R2 1 -1 | 1 0 0 1 | -(1/2) 1/2 Sostituiamo R1 -> R1+R2 1 0 | 1/2 1/2 0 1 | -(1/2) 1/2 Dunque: A^(-1) = 1/2 1/2 -(1/2) 1/2 Ora usiamo A^(-1) per risolvere le equazioni matriciali: - AX = B Moltiplichiamo l'equazione per A^(-1) a sinistra in entrambi i membri: [A^(-1)]*( AX) = [A^(-1)]*B ( [A^(-1)]*A )X = [A^(-1)]*B (proprietà associativa) (I_2)*X = [A^(-1)]*B (definizione di inversa) X = [A^(-1)]*B (definizione di identità) Calcoliamo X: 1/2 1/2 1 2 X = [A^(-1)]*B = ( ) ( ) = ( ) -(1/2) 1/2 3 1 - XA = C Moltiplichiamo l'equazione per A^(-1) a destra in entrambi i membri: X = C*A^(-1) Calcoliamo X: 1 3 1/2 1/2 -1 2 X = ( )( ) = ( ) 1 5 -(1/2) 1/2 -2 3 - AX = D Osserviamo che A è una matrice 2x2 mentre D è una matrice 3x2, dunque l'equazione matriciale è impossibile. ------------------------------- 4) Sono date le matrici 1 -1 0 0 1 2 A = 1 0 -1 B = 0 3 4 0 1 -1 1 0 0 Si stabilisca se le matrici sono non singolari, in due modi; Si calcolino, se possibile, le inverse delle matrici e si effettui una verifica. - Consideriamo la matrice A: Un criterio di non singolarità è che le colonne della matrice siano linearmente indipendenti. Applichiamo la procedura descritta a pagina 17 e 18 degli appunti: C1 C2 C3 1 -1 0 1 0 -1 0 1 -1 C1 non è il vettore nullo: scelgo la 1° componente e la annullo in C2 (e C3, ma è già 0) eseguendo l'operazione C2 -> C2+C1 Cancello C1: C2 C3 0 0 1 -1 1 -1 C2 non è il vettore nullo: scelgo la 2° componente e la annullo in C3 eseguendo l'operazione C3 -> C3+C2 Cancello C2: C3 0 0 0 C3 è il vettore nullo, dunque le colonne C1,C2,C3 sono linearmente dipendenti. Quindi A è singolare e pertanto non posso calcolare l'inversa di A. - Consideriamo la matrice B: Un secondo criterio di non singolarità è che le righe della matrice siano linearmente indipendenti. Applichiamo la definizione (pagina 15 e 16 degli appunti): R1: 0 1 2 R2: 0 3 4 R3: 1 0 0 R1 non è il vettore nullo; R2 non è multiplo di R1; R3 non è combinazione lineare di R1 e R2 (la 1° componente è 0 sia in R1 che in R2, ma non è 0 in R3). Dunque le righe di B sono linearmente indipendenti e quindi B è non singolare. Calcoliamo l'inversa di B: 0 1 2 | 1 0 0 0 3 4 | 0 1 0 1 0 0 | 0 0 1 Scambiamo R1 e R3: 1 0 0 | 0 0 1 0 3 4 | 0 1 0 0 1 2 | 1 0 0 Sostituiamo R3 -> 3*R3-R2 (corrisponde ad eseguire in un solo passaggio le operazioni R3 -> 3*R3 e R3 -> R3-R2) 1 0 0 | 0 0 1 0 3 4 | 0 1 0 0 0 2 | 3 -1 0 Sostituiamo R3 -> (1/2)*R3 1 0 0 | 0 0 1 0 3 4 | 0 1 0 0 0 1 | 3/2 -(1/2) 0 Sostituiamo R2 -> R2-4*R3 1 0 0 | 0 0 1 0 3 0 | -6 3 0 0 0 1 | 3/2 -(1/2) 0 Sostituiamo R2 -> (1/3)*R2 1 0 0 | 0 0 1 0 1 0 | -2 1 0 0 0 1 | 3/2 -(1/2) 0 0 0 1 Dunque l'inversa di B è la matrice ( -2 1 0 ). Si verifichi moltiplicandola con B (il risultato deve essere la matrice identità). 3/2 -(1/2) 0