Esercizi 6 - Risoluzione

1) In R2. Si calcoli la proiezione ortogonale di (1,2) su (1,1) e si effettui una verifica.

Applichiamo la formula a pagina 54 degli appunti, dove a=(1,1) e b=(1,2).

a.b = 1*1 + 1*2 = 3
a.a = 1*1 + 1*1 = 2
r = 3/2
pr_a(b) = ra = 3/2*(1,1) = (3/2,3/2)

Dunque la proiezione ortogonale di (1,2) su (1,1) è il vettore (3/2,3/2). 
Verifichiamo il risultato:

a.(b-pr_a(b)) = (1,1).[(1,2) - (3/2,3/2)] = (1,1).(-1/2,1/2) = -1/2 + 1/2 = 0

i.e. i vettori a e b-pr_a(b) sono ortogonali.

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2) In R2. E' data la base (3,6), (4,-2); si calcolino le coordinate di (1,1) rispetto alla base, in due modi.

- 1° metodo: sistema lineare.
Calcoliamo le coordinate di (1,1) rispetto alla base risolvendo il sistema lineare x*(3,6) + y*(4,-2) = (1,1)

3x + 4y = 1
6x - 2y = 1

Eliminiamo la variabile x nella 2°equazione: Eq2 -> Eq2-2*Eq1

3x + 4y =  1
   -10y = -1

Risolviamo in y:

3x + 4y = 1
      y = 1/10

Risolviamo in x:

3x + 4/10 = 1
        y = 1/10

3x = 6/10
 y = 1/10

x = 1/5
y = 1/10

Dunque le coordinate di (1,1) rispetto alla base sono (1/5,1/10).

- 2°metodo: proiezione ortogonale.
Osserviamo che (3,6),(4,-2) è base ortogonale. Infatti:

(3,6).(4,-2) = 12 - 12 = 0

Calcoliamo le proiezioni ortogonali di b=(1,1) sui vettori della base: al variare di a_i vettori base, i termini r_i = (a_i.b)/(a_i.a_i) sono le coordinate.

a1.b = (3,6).(1,1) = 9
a1.a1 = (3,6).(3,6) = 45
r1 = 1/5

a2.b = (4,-2).(1,1) = 2
a2.a2 = (4,-2).(4,-2) = 20
r2 = 1/10

Dunque le coordinate di (1,1) rispetto alla base sono (1/5,1/10).

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3) In R3. Sono dati i vettori

 a b c
 1 1 2
 2 3 3
 1 2 1

Si determini una base ortogonale di Span{a,b,c} e si calcolino le coordinate di c rispetto alla base.
Si effettuino delle verifiche.

Identifichiamo una base di Span{a,b,c}:
- a non è il vettore nullo;
- b non è multiplo di a;
- verifichiamo l'indipendenza lineare di a,b,c:

b -> b-a
c -> c-2*a

b  c
0  0
1 -1
1 -1

c -> c+b

c
0
0
0

Dunque c è combinazione lineare di a e b, pertanto Span{a,b,c} = Span{a,b}.
a,b è una base di Span{a,b,c}.

Ora applichiamo l'algoritmo di Gram-Schmidt (pagina 59 degli appunti):

Base ortogonale:
a' = a = (1, 2, 1)
b' = b - pr_a'(b)

Calcoliamo b':
a'.b = (1, 2, 1).(1, 3, 2) = 1 + 6 + 2 = 9
a'.a' = (1, 2, 1).(1, 2, 1) = 1 + 4 + 1 = 6
pr_a'(b) = (a'.b/a'.a')a' = (9/6) (1, 2, 1) = (3/2, 3, 3/2)
b' = b - pr_a'(b) = (1, 3, 2) - (3/2, 3, 3/2) = (-1/2, 0, 1/2)

Dunque (1, 2, 1), (-1/2, 0, 1/2) è base ortogonale di Span{a,b,c}. Si verifichi l'ortogonalità calcolando il prodotto scalare a'.b' 
Calcoliamo le coordinate di c rispetto alla base ortogonale:

a'.c = (1, 2, 1).(2, 3, 1) = 2 + 6 + 1 = 9
a'.a' = (1, 2, 1).(1, 2, 1) = 6
r1 = 9/6 = 3/2

b'.c = (-1/2, 0, 1/2).(2, 3, 1) = -1 + 1/2 = -1/2
b'.b' = (-1/2, 0, 1/2).(-1/2, 0, 1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2
r2 = -(1/2)/(1/2) = -1

Dunque (3/2, -1) sono le coordinate di c rispetto alla base a',b'.  Verifichiamo l'identità (3/2)*a' - b' = c

(3/2)*a' - b' = (3/2)*(1, 2, 1) - (-1/2, 0, 1/2) = (3/2, 3, 3/2) - (-1/2, 0, 1/2) = (2, 3, 1) = c


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4) In R4. Sono dati i vettori

a=(1,1,0,0), b=(2,0,2,0), c=(6,0,0,6).

Si determini una base ortogonale di Span{a,b,c} e si calcolino le coordinate di c rispetto alla base. 
Si effettuino delle verifiche.

Procediamo come prima:
- a non è il vettore nullo;
- b non è multiplo di a;
- c non è combinazione lineare di a,b (l'ultima coordinata è non nulla solamente in c)

Dunque a,b,c è base di Span{a,b,c}. Applichiamo Gram-Schmidt:

a' = a = (1, 1, 0, 0)
b' = b - pr_a'(b) = (2, 0, 2, 0) - [(1, 1, 0, 0).(2, 0, 2, 0)/(1, 1, 0, 0).(1, 1, 0, 0)] (1, 1, 0, 0) = (2, 0, 2, 0) - (1, 1, 0, 0) = (1, -1, 2, 0)
c' = c - pr_a'(c) - pr_b'(c) = (6, 0, 0, 6) - [(1, 1, 0, 0).(6, 0, 0, 6)/2] (1, 1, 0, 0) - [(1, -1, 2, 0).(6, 0, 0, 6)/(1, -1, 2, 0).(1, -1, 2, 0)] (1, -1, 2, 0) = (6, 0, 0, 6) - (3, 3, 0, 0) - (1, -1, 2, 0) = (2, -2, -2, 6)

Dunque (1, 1, 0, 0), (1, -1, 2, 0), (2, -2, -2, 6) è base ortogonale di Span{a,b,c}. Si verifichi l'ortogonalità a due a due dei vettori a',b',c'.
Calcoliamo le coordinate di c rispetto alla base ortogonale:

r1 = (6, 0, 0, 6).(1, 1, 0, 0)/2 = 3
r2 = (6, 0, 0, 6).(1, -1, 2, 0)/6 = 1
r3 = (6, 0, 0, 6).(2, -2, -2, 6)/(2, -2, -2, 6).(2, -2, -2, 6) = 48/48 = 1

Dunque (3, 1, 1) sono le coordinate di c rispetto alla base a',b',c'. Si verifichi l'identità 3a' + b' + c' = c.