Esercizi 7 - Risoluzione 1) Quante sono le matrici a scala di tipo 3x2 aventi elementi in {0,1,...,9}? Usando la definizione a pagina 62 degli appunti, contiamo le matrici a scala di tipo 3x2 partendo dal numero di righe non nulle p. - p=0 Non ci sono pivot, pertanto si ha banalmente solo la matrice nulla: 0 0 0 0 0 0 Per p=0 -> 1 matrice a scala. - p=1 Il pivot è nella posizione (1,j1), ma siccome la matrice è 3x2 può essere soltanto j1=1 o j1=2. Si ha dunque: j1=1 x a x=1,...,9 a=0,1,...,9 0 0 0 0 9*10=90 matrici al variare di x,a. j1=2 0 x x=1,...,9 0 0 0 0 9 matrici al variare di x. Per p=1 -> 90+9=99 matrici a scala. - p=2 I pivot sono nella posizione (1,j1),(2,j2) con j1 810 matrici a scala. Dunque le matrici a scala di tipo 3x2 con elementi in {0,1,...,9} sono in tutto: 1+99+810 = 910. -------------------------------- 2) Quante sono le matrici a scala ridotta di tipo 3x4 e rango 2 aventi elementi in {0,1,...,9}? Poiché il rango è 2, ogni matrice a scala ridotta ha esattamente 2 pivot. Seguendo il ragionamento precedente, i pivot occupano le posizioni (1,j1),(2,j2) con j1 R2-R1 1 1 5 0 2 0 -1 -3 0 -1 0 1 3 1 2 0 0 0 1 1 Ignoriamo la prima riga e ripetiamo il procedimento: la seconda colonna è non nulla e l'elemento A_22 è il pivot della 2° riga, pertando annulliamo gli elementi sotto ad esso. R3 -> R3+R2 1 1 5 0 2 0 -1 -3 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ignoriamo le prime due righe: la quarta colonna è non nulla e A_34 è pivot della 3° riga, dunque annulliamo gli elementi sotto ad esso. R4 -> R4-R3 S = 1 1 5 0 2 0 -1 -3 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Abbiamo ottenuto una matrice a scala per righe. b) Si scriva una sequenza di colonne di A che sia base di C(A). Una base di C(A) sono le colonne di A corrispondenti alle colonne di S contenenti i pivot, ossia la prima, seconda e quarta colonna. Pertanto: 1 1 0 ( 1 ), ( 0 ), ( 0 ) è base di C(A). 0 1 1 0 0 1 c) Si scriva una base di R(A). Una base di R(A) sono le righe non nulle di S. Pertanto: (1,1,5,0,2), (0-1,-3,0,-1), (0,0,0,1,1) è base di R(A). -------------------------------- 4) E' data la matrice B = 1 1 0 0 0 1 1 0 2 5 3 0 0 0 1 1 1 2 2 1 a) si applichi a B l'algoritmo di Gauss-Jordan. Innanzitutto, applichiamo l'algoritmo di Gauss per la riduzione a scala per righe. La prima colonna di B è non nulla; B_11 è il pivot della 1° riga, dunque annulliamo gli elementi sotto ad esso. R3 -> R3-2*R1 R5 -> R5-R1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 3 3 0 0 0 1 1 0 1 2 1 Ignoriamo la prima riga. La seconda colonna di B è non nulla; B_22 è il pivot della 2° riga, dunque annulliamo gli elementi sotto ad esso. R3 -> R3-3*R2 R5 -> R5-R2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 Ignoriamo le prime due righe. La terza colonna di B è non nulla, ma B_33 non è il pivot della 2° riga: effettuiamo uno scambio di righe. R3 <-> R4 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 B_33 è ora il pivot della 3° riga. Annulliamo gli elementi sotto ad esso. R5 -> R5-R3 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Abbiamo ottenuto una matrice a scala per righe. Tutti i pivot sono già uguali a 1, pertanto è necessario soltanto annullare gli elementi sopra ad essi. Annulliamo gli elementi sopra B_22. R1 -> R1-R2 1 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Annulliamo gli elementi sopra B_33. R1 -> R1+R3 R2 -> R2-R3 S = 1 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Abbiamo ottenuto una matrice a scala ridotta per righe. b) Si scriva una sequenza di colonne di B che sia base di C(B). Una base di C(B) sono le colonne di B corrispondenti alle colonne di S contenenti i pivot. 1 1 0 0 1 1 ( 2 ), ( 5 ), ( 3 ) è base di C(B). 0 0 1 1 2 2 c) Si scrivano le coordinate di c4 rispetto alla base. Osserviamo la matrice S a scala ridotta per righe; eliminando le righe nulle, otteniamo la tabella delle coordinate delle colonne di B rispetto alla base di C(B) individuata precedentemente. 1 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 1 1 Dunque le coordinate di c4 rispetto alla base sono (1,-1,1). c4 = c1-c2+c3 d) Si scriva una sequenza di righe di B che sia base di R(B). Una base di R(B) sono le righe non nulle di S, tuttavia si richiede di scrivere una sequenza di righe di B. dim(R(B))=3, quindi una sequenza di righe di B è una base di R(B) se e solo se è una sequenza di 3 righe di B linearmente indipendente; una tale sequenza si può trovare senza fare conti (il compito di trovarla è lasciato allo studente).