Esercizi 8 - Risoluzione

1) Sono date le matrici

A = 0 0 1 2 3
    0 1 2 0 3
    1 2 0 0 3
    1 3 3 2 9

A'= trasposta di A

a) Si determini la dimensione e una base di N(A);
Applichiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan.
R1 <-> R3

1 2 0 0 3
0 1 2 0 3
0 0 1 2 3
1 3 3 2 9

R4 -> R4-R1

1 2 0 0 3
0 1 2 0 3
0 0 1 2 3
0 1 3 2 6

R4 -> R4-R2

1 2 0 0 3
0 1 2 0 3
0 0 1 2 3
0 0 1 2 3

R4 -> R4-R3

1 2 0 0 3
0 1 2 0 3
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0

R1 -> R1-2*R2

1  0 -4  0 -3
0  1  2  0  3
0  0  1  2  3
0  0  0  0  0

R1 -> R1+4*R3
R2 -> R2-2*R3

S = 1  0  0  8  9
    0  1  0 -4 -3
    0  0  1  2  3
    0  0  0  0  0

Dunque r(A)=3 e pertanto dim(N(A))=5-3=2
Scriviamo le soluzioni del sistema Sx=0 dove x=(p,q,r,s,t)

p         + 8s + 9t = 0
    q     - 4s - 3t = 0
        r + 2s + 3t = 0


p  = - 8s - 9t
q  =   4s + 3t
r  = - 2s - 3t
s,t libere

                             -8       -9
                              4        3
Dunque una base di N(A) è  ( -2  ), ( -3  )
                              1        0
                              0        1


b) Si determini la dimensione e una base di N(A').

A' = 0 0 1 1 
     0 1 2 3 
     1 2 0 3 
     2 0 0 2 
     3 3 3 9

Applichiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan.
R1 <-> R3

1 2 0 3 
0 1 2 3 
0 0 1 1
2 0 0 2 
3 3 3 9

R4 -> R4-2*R1
R5 -> R5-3*R1

1  2  0  3 
0  1  2  3 
0  0  1  1
0 -4  0 -4 
0 -3  3  0

R4 -> R4+4*R2
R5 -> R5+3*R2

1  2  0  3 
0  1  2  3 
0  0  1  1
0  0  8  8 
0  0  9  9

R4 -> R4-8*R3
R5 -> R5-9*R3

1  2  0  3 
0  1  2  3 
0  0  1  1
0  0  0  0
0  0  0  0

R1 -> R1-2*R2

1  0 -4 -3 
0  1  2  3 
0  0  1  1
0  0  0  0
0  0  0  0

R1 -> R1+4*R3
R2 -> R2-2*R3

S = 1  0  0  1 
    0  1  0  1 
    0  0  1  1
    0  0  0  0
    0  0  0  0

Dunque r(A')=3 e pertanto dim(N(A'))=4-3=1
Scriviamo le soluzioni del sistema Sx=0 dove x=(p,q,r,s)

p         + s = 0
    q     + s = 0
        r + s = 0

p = -s
q = -s
r = -s
s libera

                              -1
Dunque una base di N(A') è  ( -1  )
                              -1
                               1


Osservazione:
Nel punto a), dalla matrice A abbiamo ottenuto con l'agoritmo di Gauss-Jordan la matrice S.
Su S si leggono delle informazioni sulle righe di A e sulle colonne di A, cui corrispondono delle informazioni sulle colonne di A' e sulle righe di A'.
Si lascia allo studente di individuare queste informazioni e di valutare se e come possono essere usate per svolgere con meno calcoli il punto b).

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2) Sono date l'equazione nelle incognite x1,x2,x3,x4

 x1 - x2 + x3 - x4 = 0

e i vettori di R4

 a  b  c  d
 1  2  4  3
 1  1  3  1
 1  2  4  2
 1  3  5  4

Per ciascuna delle tre sequenze si dica se è una base dello spazio delle soluzioni:
a,b; a,b,c; a,b,d

La matrice associata ai coefficienti è

A = 1 -1  1 -1

r(A)=1, dunque dim(N(A))=3

- a,b
a,b non può essere base di N(A), in quanto tutte le basi di N(A) hanno 3 vettori.

- a,b,c
Verifichiamo la lineare indipendenza

a  b  c
1  2  4
1  1  3
1  2  4
1  3  5

b -> b-2*a
c -> c-4*a

a  b  c
1  0  0
1 -1 -1
1  0  0
1  1  1

c -> c-b

a  b  c
1  0  0
1 -1  0
1  0  0
1  1  0

a,b,c non può essere base di N(A) poiché i vettori sono linearmente dipendenti.

- a,b,d
Verifichiamo la lineare indipendenza

a  b  d
1  2  3
1  1  1
1  2  2
1  3  4

b -> b-2*a
d -> d-3*a

a  b  d
1  0  0
1 -1 -2
1  0 -1
1  1  1

d -> d-2*b

a  b  d
1  0  0
1 -1  0
1  0 -1
1  1 -1

a,b,d linearmente indipendenti.
Verifichiamo che a,b,d siano vettori in N(A). Per ognuno dei vettori, è necessario verificare se soddisfano l'equazione
x1 - x2 + x3 - x4 = 0

a: 1 - 1 + 1 - 1 = 0      Sì
b: 2 - 1 + 2 - 3 = 0      Sì
c: 3 - 1 + 2 - 4 = 0      Sì

Dunque a,b,d sono 3 vettori linearmente indipendenti contenuti in N(A) dove dim(N(A))=3 e sono quindi una base di N(A).

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3) E' dato il sistema nelle incognite x,y,z

 x +  y +  z = p
 x + 2y + 3z = q
 x + 3y + 5z = r
 x + 4y + 7z = s

dove p,q,r,s sono parametri in R.

a) per quali p,q,r,s il sistema ha qualche soluzione?
Scriviamo la matrice associata al sistema e riduciamo a scala il blocco dei coefficienti.

[A|b] = 1 1 1 | p
        1 2 3 | q
        1 3 5 | r
        1 4 7 | s

R2 -> R2-R1
R3 -> R3-R1
R4 -> R4-R1

1 1 1 | p
0 1 2 | q-p
0 2 4 | r-p
0 3 6 | s-p

R3 -> R3-2*R2
R4 -> R4-3*R2

1 1 1 | p
0 1 2 | q-p
0 0 0 | r-p-2*(q-p)
0 0 0 | s-p-3*(q-p)

1 1 1 | p
0 1 2 | q-p
0 0 0 | r-2q+p
0 0 0 | s-3q+2p

Il sistema ha soluzione se e solo se sono verificate le equazioni
r - 2q +  p = 0
s - 3q + 2p = 0


b) Posto p=q=r=s=0, si risolva il sistema.
Sostituendo p=q=r=s=0 nella matrice ottenuta dalla riduzione a scala del blocco dei coefficienti, si ottiene il sistema lineare:

x + y +  z = 0
    y + 2z = 0

x = z
y = -2z
z qualsiasi

Le soluzioni sono dunque tutti i vettori della forma (z,-2z,z) con z reale.

c) posto p=q=r=s=1, se possibile, si risolva il sistema.
Verifichiamo le condizioni
r - 2q +  p = 0
s - 3q + 2p = 0

1 -2 + 1 = 0         Sì
1 -3 + 2 = 0         Sì

Pertanto il sistema ammette soluzioni.
Sostituendo p=q=r=s=1 nella matrice ottenuta dalla riduzione a scala del blocco dei coefficienti, si ottiene il sistema lineare:

x + y +  z = 1
    y + 2z = 0

x = z + 1
y = -2z
z qualsiasi

Le soluzioni sono dunque tutti i vettori della forma (z+1,-2z,z) con z reale.

Si lascia allo studente il compito di dare un'interpretazione geometrica degli insiemi delle soluzioni trovati in b) e c).