Esercizi 9 - Risoluzione 1) E' dato il sistema lineare in incognite x,y con matrice 1 k | 3 k 4 | 6 con k parametro. a) per quali k il sistema ha un'unica soluzione? Il sistema ha soluzione unica se e solo se la matrice A dei coefficienti è non singolare, cioè se e solo se det(A)=/=0. det(A) = 1*4 - k*k = 4-k^2 Impostiamo l'equazione: det(A) = 0 4 - k^2 = 0 Soluzioni: k=2, k=-2 Dunque il sistema ha soluzione unica per ogni k reale diverso da 2 e -2. b) Per tali k si risolva il sistema in due modi, usando la regola di Cramer e invertendo la matrice dei coefficienti. - Regola di Cramer: a1 = 1 a2 = k b = 3 k 4 6 det( b a2 ) = det( 3 k ) = 12-6k 6 4 det( a1 b ) = det( 1 3 ) = 6-3k k 6 Soluzioni: x = (12-6k)/(4-k^2) = 6(2-k)/((2-k)(2+k)) = 6/(2+k) y = (6-3k)/(4-k^2) = 3(2-k)/((2-k)(2+k)) = 3/(2+k) - Matrice inversa: Calcoliamo A^(-1). Matrice dei complementi algebrici: C(A) = 4 -k -k 1 A^(-1) = [1/det(A)]*C(A)' = ( 4/(4-k^2) -k/(4-k^2) ) -k/(4-k^2) 1/(4-k^2) ( x ) = A^(-1)*b = ( 4/(4-k^2) -k/(4-k^2) )( 3 ) = ( 12/(4-k^2)-6k/(4-k^2) ) = ( 6/(2+k) ) y -k/(4-k^2) 1/(4-k^2) 6 -3k/(4-k^2)+6/(4-k^2) 3/(2+k) c) Per gli altri k si dica se il sistema ha soluzioni e quante. - k=2 Il sistema lineare diventa: x + 2y = 3 2x + 4y = 6 Le due equazioni sono equivalenti (la seconda è il doppio della prima), pertanto esistono infinite soluzioni. Risolvendo nella variabile x, si ottiene che l'insieme delle soluzioni è { ( 3-2y ) | y reale } y - k=-2 Il sistema lineare diventa: x - 2y = 3 -2x + 4y = 6 La seconda equazione è equivalente a x - 2y = -3 che è incompatibile con la prima, dunque il sistema lineare non ammette soluzioni. ----------------------------------------------- 2) E' data la matrice A = 1 2 1 1 3 p 1 5 p^2 con p parametro a) si calcoli det(A) in due modi. - Sviluppo di Laplace rispetto alla 3° colonna. det(A) = 1*det( 1 3 ) - p*det( 1 2 ) + (p^2)*det( 1 2 ) = 5-3 -(5-2)p + (3-2)p^2 = p^2 -3p +2 = (p-1)(p-2) 1 5 1 5 1 3 - Sviluppo di Laplace rispetto alla 1° riga. det(A) = 1*det( 3 p ) - 2*det ( 1 p ) + 1*det( 1 3 ) = 3p^2-5p -2(p^2-p) + 5-3 = p^2 -3p +2 = (p-1)(p-2) 5 p^2 1 p^2 1 5 b) Si determinino i p per i quali la matrice è singolare. A è singolare se e solo se det(A)=0 (p-1)(p-2)=0 Soluzioni: p=1, p=2 c) per tali p si verifichi che le colonne sono lin. dip. - p=1 A = 1 2 1 1 3 1 1 5 1 Osserviamo che C1=C3, dunque C1,C2,C3 sono linearmente dipendenti. - p=2 A = 1 2 1 1 3 2 1 5 4 Osserviamo che C2=C1+C3, dunque C1,C2,C3 sono linearmente dipendenti. d) Scelto un valore di p diverso da essi, si verifichi che le righe son lin. indip. p=0 A = 1 2 1 1 3 0 1 5 0 Algoritmo di Gauss: R2 -> R2-R1 R3 -> R3-R1 1 2 1 0 1 -1 0 3 -1 R3 -> R3-3*R2 1 2 1 0 1 -1 0 0 2 Poiché le operazioni elementari conservano l'indipendenza lineare e le righe della matrice a scala sono linearmente indipendenti, anche le righe di A sono linearmente indipendenti. ----------------------------------------------- 3) Si risolva, con la regola di Cramer, il sistema nelle incognite x,y,z y + z = p x + y = q x + z = r dove p,q,r sono parametri. Il sistema lineare è AX=b dove: A = 0 1 1 X = x b = p 1 1 0 y q 1 0 1 z r Sviluppo di Laplace rispetto alla 1° riga: det(A) = -det( 1 0 ) + det( 1 1 ) = -1 -1 = -2 1 1 1 0 (b C2 C3) = p 1 1 q 1 0 r 0 1 Sviluppo di Laplace rispetto alla 1° colonna: det(b C2 C3) = p*det( 1 0 ) -q*det( 1 1 ) +r*det( 1 1 )= p -q -r 0 1 0 1 1 0 (C1 b C3) = 0 p 1 1 q 0 1 r 1 Sviluppo di Laplace rispetto alla 2° colonna: det(C1 b C3) = -p*det( 1 0 ) +q*det( 0 1 ) -r*det( 0 1 )= -p -q +r 1 1 1 1 1 0 (C1 C2 b) = 0 1 p 1 1 q 1 0 r Sviluppo di Laplace rispetto alla 3° colonna: det(C1 C2 b) = p*det( 1 1 ) -q*det( 0 1 ) +r*det( 0 1 )= -p +q -r 1 0 1 0 1 1 Soluzione: x = (q+r-p)/2 y = (p+q-r)/2 z = (r+p-q)/2 ----------------------------------------------- 4) E' data la matrice A = 8 7 2 3 a) Si calcoli, con la formula, l'inversa di A. det(A) = 24-14 = 10 Matrice dei complementi algebrici: C(A) = 3 -2 -7 8 A^(-1) = [1/det(A)]*C(A)' = ( 3/10 -7/10 ) -1/5 4/5 b) Si effettui una verifica usando la definizione di matrice inversa. Si ricordi che, per definizione, deve risultare A*A^(-1)=I A*A^(-1) = ( 8 7 )*( 3/10 -7/10 ) = ( 12/5-7/5 -28/5+28/5 ) = ( 1 0 ) = I 2 3 -1/5 4/5 3/5-3/5 -7/5+12/5 0 1 Il risultato è dunque verificato. ----------------------------------------------- 5) Si calcoli il determinante della matrice A = 0 0 1 3 0 0 2 4 1 3 5 7 2 4 6 8 Sviluppo di Laplace rispetto alla 1° colonna: 0 1 3 0 1 3 det(A) = det( 0 2 4 ) - 2*det( 0 2 4 ) = 4*det( 1 3 ) -2*[3*det( 1 3 )] = 4*(4-6) -2*[3*(4-6)] = -8 +12 =4 4 6 8 3 5 7 2 4 2 4 Abbiamo sviluppato i determinanti delle matrici 3x3 rispetto alle loro prime colonne.