Esercitazione 10-1 - risoluzione 1) Si verifichi se l'applicazione è lineare, usando la definizione: - F: R -> R, F(x) = |x| (valore assoluto di x). Siano x,y reali: F(x+y) = |x+y| F(x)+F(y) = |x|+|y| Non è sempre vera l'uguaglianza |x+y|=|x|+|y|, infatti se x=1 e y=-1 si ha: F(1-1) = |1-1| = |0| = 0 F(1)+F(-1) = |1|+|-1| = 1+1 = 2 Dunque F non è lineare. - G: R -> R2, G(x) = (2x,3x). Siano x,y reali: G(x+y) = ( 2(x+y) , 3(x+y) ) = ( 2x+2y , 3x+3y ) G(x)+G(y) = (2x,3x) + (2y,3y) = ( 2x+2y , 3x+3y ) Dunque G(x+y) = G(x)+G(y). Siano x,r reali: G(rx) = ( 2(rx) , 3(rx) ) = ( 2rx , 3rx ) rG(x) = r(2x,3x) = ( r(2x) , r(3x) ) = ( 2rx , 3rx ) Dunque G(rx) = rG(x). Per definizione, G è lineare. ---------------------------------------------------------- 2) Sono date le applicazioni fra spazi Rn F lineare tale che F(1,0)=(1,0,1,1), F(0,1)=(0,1,1,2); G lineare con matrice associata [G] = 1 0 2 ; 0 1 3 H(p,q,r,s)=(p+q,p+r,p+s); a) per ciascuna applicazione, si individuino dominio e codominio e si dia un'altra descrizione. - F è un'applicazione lineare R^2 -> R^4. La sua matrice associata è la matrice che ha per vettori colonna F(1,0) ed F(0,1): [F] = 1 0 0 1 1 1 1 2 - [G] è una matrice 2x3, dunque G è un'applicazione lineare R^3 -> R^2. Si ha: x x G( y ) = ( 1 0 2 ) ( y ) = ( x+2z ) z 0 1 3 z y+3z - H è un'applicazione lineare R^4 -> R^3. Le immagini della base canonica sono: H(1,0,0,0) = (1,1,1) H(0,1,0,0) = (1,0,0) H(0,0,1,0) = (0,1,0) H(0,0,0,1) = (0,0,1) la sua matrice associata è 1 1 0 0 [H] = ( 1 0 1 0 ) 1 0 0 1 b) per ogni coppia di applicazioni, si dica se sono componibili (nell'ordine). Ricordiamo che due applicazioni lineari sono componibili (nell'ordine) se e solo se il dominio della prima è uguale al codominio della seconda. Dal punto precedente, R^2 -F-> R^4 R^3 -G-> R^2 R^4 -H-> R^3 quindi le uniche applicazioni composte sono F°G, G°H, H°F, e si ha R^3 -F°G-> R^4 R^4 -G°H-> R^2 R^2 -H°F-> R^3 c) si calcoli una delle applicazioni composte. Calcoliamo la matrice associata a F°G: 1 0 1 0 2 [F°G] = [F][G] = ( 0 1 ) ( 1 0 2 ) = ( 0 1 3 ) 1 1 0 1 3 1 1 5 1 2 1 2 8 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Esercitazione 10-2 - risoluzione 1) Sia J: R2 -> R3, J(x,y)=(x,y,0) J possiede inversa? Si motivi in due modi, in uno usando solo la definizione di inversa. - 1° motivazione: Per noto risultato, un'applicazione lineare invertibile è tale che la dimensione del dominio e del codominio coincidono. Poiché ciò non accade per J, essa non ammette inversa. - 2° motivazione: Per definizione, J possiede inversa se esiste un'applicazione F: R^3 -> R^2 tale che F°J = Id_2 e J°F = Id_3. Sia F(x,y,z) = (F1(x,y,z),F2(x,y,z)) per ogni x,y,z reale, dove F1 ed F2 sono applicazioni lineari R^3 -> R Per ogni x,y,z reale si richiede dunque: (J°F)(x,y,z) = (Id_3)(x,y,z) J(F(x,y,z)) = (x,y,z) J(F1(x,y,z),F2(x,y,z)) = (x,y,z) (F1(x,y,z),F2(x,y,z),0) = (x,y,z) cioè: F1(x,y,z) = x F2(x,y,z) = y 0 = z Poiché l'uguaglianza z=0 dovrebbe essere verificata per ogni z reale, J non può ammettere inversa. ---------------------------------------------------------- 2) Sia F(x,y)=(x+ky, kx+y) dove k è un parametro; si determinino i k per i quali F è invertibile, si scriva l'inversa e si verifichi il risultato. F è invertibile se e solo se la sua matrice associata [F] è invertibile, il che equivale a det([F])=/=0. [F] = ( 1 k ) k 1 det([F]) = 1-k^2 La matrice [F] è singolare per k=1 e k=-1, dunque F è invertibile per ogni k reale diverso da 1 e -1. Scriviamo la matrice dei complementi algebrici: C([F]) = ( 1 -k ) -k 1 [F^(-1)] = [F]^(-1) = [1/det([F])]*C([F])' = ( 1/(1-k^2) -k/(1-k^2) ) -k/(1-k^2) 1/(1-k^2) Dunque F^(-1)(x,y) = ( x/(1-k^2)-ky/(1-k^2), -kx/(1-k^2)+y/(1-k^2) ) = ( (x-ky)/(1-k^2), (y-kx)/(1-k^2) ) Effettuiamo una verifica: (F^(-1)°F)(x,y) = F^(-1)(F(x,y)) = F^(-1)(x+ky, kx+y) = ( ((x+ky)-k(kx+y))/(1-k^2), ((kx+y)-k(x+ky))/(1-k^2) ) = ( x(1-k^2)/(1-k^2), y(1-k^2)/(1-k^2) ) = (x,y) La verifica F°F^(-1)=Id_2 è lasciata allo studente. ---------------------------------------------------------- 3) Siano C(x,y,z)=(y,z,x) S(x,y,z)=(y,x,z) a) si risolva se possibile l'equazione C°X=S, usando le matrici, e si verifichi il risultato. Scriviamo le matrici associate: 0 1 0 [C] = ( 0 0 1 ) 1 0 0 0 1 0 [S] = ( 1 0 0 ) 0 0 1 Sviluppo di Laplace rispetto alla 1° colonna: det([C]) = det( 1 0 ) = 1 0 1 Dunque è possibile risolvere l'equazione C°X=S. Ciò equivale a risolvere l'equazione matriciale [C][X]=[S]. In altre parole, [X]=[C]^(-1)[S] Calcoliamo l'inversa di [C]: Matrice dei complementi algebrici di C: det( 0 1 ) -det( 0 1 ) det ( 0 0 ) 0 0 1 0 1 0 0 1 0 C([C]) = ( -det( 1 0 ) det( 0 0 ) -det( 0 1 ) ) = ( 0 0 1 ) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 det( 1 0 ) -det( 0 0 ) det( 0 1 ) 0 1 0 1 0 0 0 0 1 [C]^(-1) = (1/det([C]))*C([C])' = ( 1 0 0 ) 0 1 0 Nota: l'inversa di [C] si può calcolare anche con l'algoritmo di Gauss-Jordan. La soluzione dell'equazione matriciale è dunque: 0 0 1 0 1 0 0 0 1 [X] = [C]^(-1)[S] = ( 1 0 0 ) ( 1 0 0 ) = ( 0 1 0 ) 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Si ha pertanto: X(x,y,z)=(z,y,x) per ogni x,y,z reale. Verifichiamo il risultato: Per ogni x,y,z deve risultare C(X(x,y,z)) = S(x,y,z); C(X(x,y,z)) = C(z,y,x) = (y,x,z) S(x,y,z) = (y,x,z) Dunque la verifica è positiva. b) Si faccia lo stesso per l'equazione X°C=S. Poiché [C] è non singolare, è possibile risolvere anche l'equazione X°C=S. Moltiplicando a destra entrambi i membri per l'inversa di [C], otteniamo [X]=[S][C]^(-1) Il compito di eseguire il prodotto di matrici e la verifica è lasciato allo studente.